全空间的 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式：
设 1 \leq q \leq +\infty 为一个正扩展实数。设 j 和 m 为非负整数，满足 j < m。此外，设 1 \leq r \leq +\infty 为一个正扩展实数，p \geq 1 为实数，且 \theta \in [0,1]，使得满足关系式
\frac {1}{p} = \frac {j}{n} + \theta \left(\frac {1}{r} - \frac {m}{n}\right) + \frac {1 - \theta}{q}, \quad \frac {j}{m} \leq \theta \leq 1
成立。则，
\| D ^ {j} u \| _ {L ^ {p} \left(\mathbb {R} ^ {n}\right)} \leq C \| D ^ {m} u \| _ {L ^ {r} \left(\mathbb {R} ^ {n}\right)} ^ {\theta} \| u \| _ {L ^ {q} \left(\mathbb {R} ^ {n}\right)} ^ {1 - \theta}
对于任意 u \in L^{q}(\mathbb{R}^{n}) 满足 D^{m}u \in L^{r}(\mathbb{R}^{n}) ，但有两种例外情况：
- 如果 j = 0（其中 D^0 u = u），q = +\infty 且 rm < n，则需要额外假设：要么 u 在无穷远处趋于 0，要么 u \in L^s(\mathbb{R}^n) 对于某个有限的 s
- 如果 r > 1 且 m - j - \frac{n}{r} 是一个非负整数，则需要额外假设 \frac{j}{m} \leq \theta < 1（注意严格不等式）。
关于常数：
在任何情况下，常数 C > 0 依赖于参数 j, m, n, q, r, \theta，但不依赖于 u。
有界域的 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式：
令 \Omega \subset \mathbb{R}^n 是一个满足锥条件 (cone condition) 的可测、有界、开且连通的区域。
令 1 \le q \le +\infty 为正广义实数。令 j 和 m 为非负整数，使得 j < m。此外，令 1 \le r \le +\infty 为正广义实数，p \ge 1 为实数，且 \theta \in [0, 1]，满足以下关系：
\frac{1}{p} = \frac{j}{n} + \theta \left( \frac{1}{r} - \frac{m}{n} \right) + \frac{1-\theta}{q}, \quad \frac{j}{m} \le \theta \le 1
结论：
\|D^j u\|_{L^p(\Omega)} \le C \|D^m u\|_{L^r(\Omega)}^{\theta} \|u\|_{L^q(\Omega)}^{1-\theta} + C \|u\|_{L^\sigma(\Omega)}
其中 u \in L^q(\Omega) 使得 D^m u \in L^r(\Omega)，且 \sigma 是任意的。
例外情况：
- 如果 r > 1 且 m - j - \frac{n}{r} 是非负整数，则需要附加假设 \frac{j}{m} \le \theta < 1 (注意这里需要严格不等式)。
关于常数：
在任何情况下，常数 C > 0 仅依赖于参数 j, m, n, q, r, \theta 以及区域 \Omega，而不依赖于 u。
