函数是曲线？其实它也可以是拥有无数分量的超级向量！——Cauchy-Schwarz 不等式
你见过的 Cauchy-Schwarz 不等式是什么样子？
(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2)^2
是这样的代数形式？还是
|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \ge |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|
这样的几何形式？
在 \mathbb{R}^2 的时候，这两个式子其实是一样的。把向量写成分量形式 \mathbf{a}=(a_1,a_2)，\mathbf{b}=(b_1,b_2)，用内积和模长的定义，就能从几何推代数。
那 \mathbb{R}^n 呢？几何形式看起来没变，同样的算法，可以得到 n 维代数形式：
(a_1^2 + \cdots+a^2_n)(b_1^2 +\cdots+ b_n^2) \ge (a_1b_1 +\cdots+ a_nb_n)^2
从几何角度看，Cauchy-Schwarz 其实在说：内积的绝对值不会超过模长相乘。如果我们把模长和内积的定义再往外扩，这个不等式就能走得更远。
在大学 \mathbb{R}^n 并不是终点。
从有限维到无穷维
\mathbb{R}^n 里的元素是向量。我们抽象一下：向量有加法，有数乘，把这些"向量"放在一起就叫向量空间。既然有内积和模长，那在一般的向量空间里也可以定义这两个东西。
这样一来，Cauchy-Schwarz 就有了各种各样的面孔。
比如在积分里，平方可积函数空间 L^2(a,b) 中有这样一个版本：
\left| \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right| \le \left( \int_a^b |f(x)|^2 \, dx \right)^{1/2} \left( \int_a^b |g(x)|^2 \, dx \right)^{1/2}
这里的内积是两个函数相乘再积分，模长是平方积分后开根号。
换句话说，函数也可以看作向量。它有和区间 (a,b) 里的点一样多的分量，每个分量的大小是 f(x)。这是一个无穷维向量，可以写成：
\mathbf{f} = (f(x))_{x \in [a, b]}
函数 = 连绵不绝的向量
想象把函数图像切成无数细条，每一片的高度，就是这个无穷维向量的一个分量。
有限维的时候，我们用离散的求和算内积和模长。现在维数不可数无穷，离散求和变成了"连续求和"——积分。
\sum_{i=1}^n a_i^2 \xrightarrow{n \to \infty} \int_a^b |f(x)|^2 dx
向量的下标 i 变成自变量 x。向量的分量 v_i 变成函数值 f(x)。求和符号 \sum 变成积分 \int。
但有一条始终没变：内积的绝对值受限于模长的乘积。
